Question

已知函数f(x)=|x-a|-a/2×(lnx)，a∈R．

（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，（x1＜x2），求证：1＜x1＜a＜x2＜a2．
最后一项是a^2

Answer 1

由已知：（1）a∈R, f(x)=|x-a|-a/2×lnx , x∈﹙0,﹢∞﹚∵涉及绝对值符号，∴先去掉绝对值符号应分两种情况：①当x-a≥0时即a／x≤1，f(x)=x-a-a/2×lnx 且 x∈﹙0,﹢∞﹚，故其导函数为：f′﹙x﹚=1-a／2x ∵a／x≤1, ∴0＜1／2≤1-a／2x=f′﹙x﹚，∴在x∈[a,﹢∞﹚，f(x)=x-a-a/2×lnx单调增；
②当x-a＜0时即a／x＞1，f(x)=a-x-a/2×lnx ,故其导函数f′﹙x﹚=-1-a／2x＜-3／2＜0，∴对于x∈﹙﹣∞，a﹚f(x)=a-x-a/2×lnx单调减；
综上，函数f（x）单调增区间和减区间分别为[a,﹢∞﹚，﹙﹣∞，a﹚
（2）由已知及图像知：f（x）min=f（a）=-a/2lna=alna＜0, ∴ a＞1且x1＜a＜x2;
下面来判断第一个零点x1和1的大小，x=1代入f(x)=a-x-a/2×lnx且 x∈﹙0，a﹚,∴f（1）=a-1＞0 且f（x1）=0，又∵x∈﹙﹣∞，a﹚f(x)=a-x-a/2×lnx单调减；∴x1＞1,即有1＜x1＜a＜x2；
在比较x2和a²的大小 ∵a＞1，∴ a²＞a＞1且x∈[a,﹢∞﹚，f(x)=x-a-a/2×lnx单调增；又f(a²)=a²-a-alna , 为判断f（a²）的正负，不妨令g(a)=-alna ,∴g′(a)=－(1+lna)∵a＞1 ,∴lna＞0,g′(a)＜－1＜0,g(a)max=g(1)＜0 , a²-a＞0 ∴f(a²)＞0又f(x2)=0 , ∴x2＜a²综上有：1＜x1＜a＜x2＜a²

Answer 2

1求导解决
2根据1问结果看

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