Question

反正切函数的麦克劳林展开式是什么？求解？

反正切的麦克劳林展开式和正切的一样吗？因为x趋于0的时候，正切和反正切都是可以等价于x的。

Answer 1

记f(x)=(1-x)^(-1/2)

f'(x)=1/2*(1-x)^(-3/2), f'(0)=1/2

f"(x)=1/2*3/2*(1-x)^(-5/2), f"(0)=1*3/2^2

f"'(x)=1/2*3/2*5/2*(1-x)^(-7/2), f"'(0)=1*3*5/2^3

则有：

求导：(arcsinx)' =(1-x^2)^(-1/2)=1+x^2/2+1*3x^4/(2!*2^2)+....+(2n-1)!!*x^2n/(n!*2^n)+...

积分：arcsinx=x+1/6*x^3+3/40*x^5+....+(2n-1)!!x^(2n+1)/[n!*2^n* (2n+1)]+...

扩展资料

正切函数y=tanx在定义域R上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数。注意这里选取是正切函数的一个单调区间。而由于正切函数在开区间(-π/2,π/2)中是单调连续的，因此，反正切函数是存在且唯一确定的。

引进多值函数概念后，就可以在正切函数的整个定义域(x∈R，且x≠kπ+π/2，k∈Z)上来考虑它的反函数，这时的反正切函数是多值的，记为 y=Arctan x，定义域是(-∞，+∞)，值域是 y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z。

于是，把 y=arctan x (x∈(-∞，+∞)，y∈(-π/2,π/2))称为反正切函数的主值，而把 y=Arctan x=kπ+arctan x (x∈R，y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z)称为反正切函数的通值。

反正切函数在(-∞，+∞)上的图像可由区间(-π/2,π/2)上的正切曲线作关于直线 y=x 的对称变换而得到。

Answer 2

肯定是不一样的咯。
(arctanx)'=1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+x^8-...+(-1)^n*x^(2n)+...
两边积分（注意到arctan0=0）：
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)+...

Answer 3