Question

在平面直角坐标系XOY中，抛物线y=x平方+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点B的坐标

为（3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C两点。抛物线顶点为D。连接CD，求角OCA与角OCD度数的和。

Answer 1

答：
直线y=kx向上平移后为y=kx+3，点B（3，0）在该直线上，所以：3k+3=0，k=-1
点C（0，c）在直线y=kx+3=-x+3上：-0+3=c，c=3。所以点C为（0，3）
点B（3，0）和c=3代入抛物线方程y=x^2+bx+c得：
9+3b+3=0，解得：b=-4
所以抛物线方程为：y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1
令y=0，解得x1=1，x2=3，所以点A为（1，0），顶点D（2，-1）。

CA直线斜率k1为(0-3)/(1-0)=-3，CD直线斜率为k2=(-1-3)/(2-0)=-2。
所以：tan∠OCA=-k1=3，tan∠OCD=-k2=2

根据公式tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）得：
tan(∠OCA+∠OCD)
=(tan∠OCA+tan∠OCD)/[1-(tan∠OCA)*(tan∠OCD)]
=(3+2)/(1-3*2)
=-1
因为：∠OCA+∠OCD<180°
所以：∠OCA+∠OCD=135°