Question

求与圆C:x^2+y^2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的圆的方程

设圆C的对称点C'（x，y），所列方程（y+1)/(x-1/2)=-1和(x+1/2)/2-(y-1)/2+1=0这两个方程怎么得来的？

Answer 1

第一个方程，是因为CC'垂直于直线L，K(L)=1
所以，K(CC')=-1
C(1/2,-1)，C'(x,y)
所以，(y+1)/(x-1/2)=-1

第二个方程，是因为CC'的中点在直线L上
CC'的中点为（(x+1/2)/2，(y-1)/2）
代入直线L得：(x+1/2)/2-(y-1)/2+1=0

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

答：
圆C为：x^2+y^2-x+2y=0，即：(x-1/2)^2+(y+1)^2=5/4，圆心坐标为C(1/2，-1）
对称圆圆心C'坐标为（x，y），则CC'的中点坐标为O[(x+1/2)/2，(y-1)/2]，
因为C、C'关于直线x-y+1=0对称，所以直线x-y+1=0是CC'的垂直平分线，
点O在直线x-y+1=0上：
(x+1/2)/2-(y-1)/2+1=0……（1）

同时，直线x-y+1=0与CC'相互垂直，那么它们的斜率乘积为-1，直线x-y+1=0的斜率为1，
所以CC'直线的斜率为-1/1=-1：
（y+1)/(x-1/2)=-1……（2）

由（1）和（2）可以得到圆C'的圆心为：
x=-2，y=3/2
所以圆C'为（x+2)^2+(y-3/2)^2=5/4

Answer 3

圆C：x^2+y^2-x+2y=0化为标准形式：（x-1/2）^2+（y+1）^2=（v5/2）^2，圆心C为（1/2，-1），半径r=v5/2，直线l：x-y+1=0的斜率k=1，——》CC'⊥l——》k'=-1，设C对称点C'为（x，y），
——》CC'的方程：（y+1）/（x-1/2）=k'=-1，CC'的中点坐标为(（x+1/2）/2，（y-1）/2)，
其中点在直线l上，所以其坐标满足：(x+1/2)/2-(y-1)/2+1=0，解方程组，得：x=-2，y=3/2，
——》圆C‘为：（x+2）^2+（y-3/2）^2=（v5/2）^2。