Question

级数∑[x+n(-1)^n]/[x^2+n^2]在x的定义域R上的收敛性和一致收敛性、和函数的连续性。

Answer 1

①对任意A > 0, 级数在[-A,A]上一致收敛.
一方面, 对|x| ≤ A, |x/(x²+n²)| = |x|/(x²+n²) ≤ A/n².
根据Weierstrass判别法, 由∑A/n²收敛可知∑x/(x²+n²)在[-A,A]上一致收敛.
另一方面, 对|x| ≤ A, 当n > A时n/(x²+n²)关于n单调递减.
且由n/(x²+n²) ≤ 1/n, 其一致收敛到0.
又∑(-1)^n部分和一致有界, 根据Dirichlet判别法, ∑(-1)^n·n/(x²+n²)在[-A,A]上一致收敛.
于是∑(x+(-1)^n·n)/(x²+n²)也在[-A,A]上一致收敛.

②由级数的各项在[-A,A]连续, 级数在[-A,A]一致收敛.
可知和函数在[-A,A]连续, 由A的任意性, 和函数在R上连续.

③级数在R上不是一致收敛的.
对ε = 1/8, 任意N > 0, 存在正整数k使2^k > N.
考虑部分和∑{2^k ≤ n < 2^(k+1)} (x+(-1)^n·n)/(x²+n²)在x = 2^(k+1)处的取值.
当n为奇数, 有(x+(-1)^n·n)/(x²+n²) = (x-n)/(x²+n²) > 0.
当n为偶数, 有(x+(-1)^n·n)/(x²+n²) = (x+n)/(x²+n²) > 2^(k+1)/(2^(2k+2)+2^(2k+2)) = 1/2^(k+2).
[2^k, 2^(k+1))中共有2^(k-1)个偶数, 因此在x = 2^(k+1)处:
∑{2^k ≤ n < 2^(k+1)} (x+(-1)^n·n)/(x²+n²) > 2^(k-1)·1/2^(k+2) = 1/8 = ε.
根据Cauchy收敛准则, 级数在R上不一致收敛.