Question

已知数列{an}的前n项和为sn,且sn=(an+1)^2/4

（an>0),求an的通项

Answer 1

题目应该是抄漏了，{an}各项均为正数。

解：
n=1时，a1=S1=(a1+1)²/4
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(an+1)²/4-[a(n-1)+1]²/4
整理，得
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
如果有数列各项均为正的条件，那么：
an+a(n-1)恒>0，因此只有an-a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1
如果没有这个条件，除了上面的通项公式外，还有一种情况：
an+a(n-1)=0
an=-a(n-1)
数列是1，-1，1，-1，……的交错数列。
an=(-1)^(n+1)

追问

（an>0),求an的通项,你答案错了

追答

你题目本身就有问题，在百度知道提问，就算不会做，总不应该连题都不会抄吧。

Answer 2

(an+1)^2/4？什么意思啊！？
括号内表示的是第n项的数值加1？还是第n+1项的数值？
是(第n项的数值加1)²/4？还是(第n项的数值加1)的2/4次方？
或者是(第n+1项的数值)²/4？还是(第n+1项的数值)的2/4次方？

假设是(第n项的数值加1)²/4吧！

解：
n=1时，有：S1=a1
由已知，有：S1=[(a1)+1]²/4
即：[(a1)+1]²/4=a1
[(a1)+1]²=4(a1)
(a1)²-2(a1)+1=0
[(a1)-1]²=1
解得：a1=1
an=Sn-S(n-1)
=[(an)+1]²/4-{[a(n-1)]+1}²/4
={[(an)+1]²-{[a(n-1)]+1}²}/4
={[(an)+1-[a(n-1)]-1}{[(an)+1+[a(n-1)]+1}/4
=[(an)-a(n-1)][an+a(n-1)+2]/4
={(an)²+2an-[a(n-1)]²-2a(n-1)}/4
an={(an)²+2an-[a(n-1)]²-2a(n-1)}/4
4an=(an)²+2an-[a(n-1)]²-2a(n-1)
(an)²-[a(n-1)]²-2[an+a(n-1)]=0
[an-a(n-1)][an+a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
解得：an=-a(n-1)，或：an=a(n-1)+2
已知：an＞0
所以：an=a(n-1)+2
即：an-a(n-1)=2
可见：{an}是首项为1、公差为2的等差数列。
即：an=1+(n-1)×2=2n-1
所求{an}的通项公式为：an=2n-1。

追问

[an-a(n-1)][an+a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0中的an+a(n-1)]=为什么不能约去啊