Question

已知f(x)=x3-3ax2+3x+1,若f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的范围

为什么f'(2)f'(3)＜0，这样不就大于0了，至少可以有两个啊

Answer 1

已知f(x)=x3-3ax2+3x+1,若f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的范围
导函数f '(x)是一条抛物线：
f '(x)=3x²-6ax+3
原函数有极值点，翻译到导函数就变成了导函数在（2，3）上到少有一根，而到少有一根
又分为两类，
一.恰有一根即：
f '(2)f '(3)<0; <=>(15-12a)(30-18a)<0==>5/4<a<5/3
二.恰有两根：等价
｛f '(2)>0
{f '(3)>0
{2<a<3(x=a是导函数的对称轴方程）
｛Δ>0
.......................................
{15-12a>0
{30-18a>0
{2<a<3
{36a²-36>0
.......................................
解集为空
所以：
5/4<a<5/3

Answer 2

f(x)=x3-3ax2+3x+1？
应该是f(x)=x³-3ax²+3x+1吧？

解：
f(x)=x³-3ax²+3x+1
f‘(x)=3x²-6ax+3
f‘(x)=3(x²-2ax+1)
f‘(x)=3[x²-2ax+a²-(a²-1)]
f‘(x)=3[(x+a)²-(a²-1)]
观察f(x)=x³-3ax²+3x+1
为三次函数，最多有2个极值点。
因此：依题意，在x∈(2，3)可能有1个极值点，也可能有2个极值点。
1、当f(x)在x∈(2，3)有一个极值点时，f'(2)、f'(3)异号，
因此，有：f'(2)f'(3)＜0
{3[(2+a)²-(2²-1)]}{3[(3+a)²-(3²-1)]}＜0
(4+2a+a²-3)(9+6a+a²-8)＜0
(a²+2a+1)(a²+6a+1)＜0
(a+1)²(a²+6a+1)＜0
a²+6a+1＜0
[a-(-3-2√2)][a+(-3+2√2)]＜0
解得：a＞3-2√2、a＜-3-2√2，矛盾，舍去；
或者：a＜3-2√2、a＞-3-2√2
即：a∈(-3-2√2，3-2√2)
2、当f(x)在x∈(2，3)有2个极值点时，f'(2)、f'(3)同号，
因此，有：f'(2)f'(3)＞0
{3[(2+a)²-(2²-1)]}{3[(3+a)²-(3²-1)]}＞0
(4+2a+a²-3)(9+6a+a²-8)＞0
(a²+2a+1)(a²+6a+1)＞0
(a+1)²(a²+6a+1)＞0
a²+6a+1＞0
[a-(-3-2√2)][a+(-3+2√2)]＞0
解得：a＞3-2√2、a＞-3-2√2，即：a＞-3-2√2
或者：a＜3-2√2、a＜-3-2√2，即：a＜-3-2√2
即：a∈(-∞，-3-2√2)，或a∈(3-2√2，∞)

(-3±2√2)