Question

高中数学抛物线问题，求解答

抛物线x^2=2py,过焦点F的动直线l交于抛物线于A,B两点，抛物线在这两点切线相交于点Q。求向量OA*OB的值。设直线方程为什么是y=kx+p/2?由直线方程和抛物线方程连立解得的方程设设A,B两个点，x1+x2=2pk,x1x2=-p^2怎么得到的？
怎么知道b=p/2

Answer 1

x² = 2py是顶点在原点，对称轴为y轴, 开口向上的抛物线的标准形式. 其焦点为F(0, p/2)，准线为y = -p/2。这个是要记的。

动直线过焦点F(0, p/2), 斜率为k，在y轴上的截距为p/2, 用斜截式得方程y = kx + p/2

x² = 2py = 2p(kx + p/2) = 2pkx + p²
x² - 2pkx - p² = 0
用韦达定理: x₁ + x₂ = 2pk, x₁x₂ = -p²

Answer 2

(1) x² = 2py是顶点在原点，对称轴为y轴, 开口向上的抛物线的标准形式. 其焦点为F(0, p/2)，准线为y = -p/2。这个是要记的。

(2) x1+x2=2pk,x1x2=-p^2怎么得到的？
联立方程y=kx+p/2，x^2=2py ，消 y 得：x^2-2pkx-p^2=0
由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=2pk,x1x2=-p^2

(3) 向量OA*OB的值=x1*x2 +y1*y2 = x1*x2 + ( x1^2 / 2p)*( x2^2 / 2p)
=-p^2 +p^2 / 4
=-3p^2 / 4

第一条，必考，韦达定理，必考，向量相乘的计算，必考

Answer 3

(1) 设直线方程为什么是y=kx+p/2? 因为焦点坐标为（0，p/2），点斜式y-p/2=k（x-0）

(2) x1+x2=2pk,x1x2=-p^2怎么得到的？
联立方程y=kx+p/2，x^2=2py ，消 y 得：x^2-2pkx-p^2=0
由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=2pk,x1x2=-p^2

(3) 向量OA*OB的值=x1*x2 +y1*y2 = x1*x2 + ( x1^2 / 2p)*( x2^2 / 2p)
=-p^2 +p^2 / 4
=-3p^2 / 4