Question

抛物线y=1/2x^2+bx+c与X轴交于点A（-4.0）和B（1.0）两点，与Y轴交于点c

Answer 1

如图，已知抛物线y=1/2x^2+bx+c
与x轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.若G为抛物线上的一个动点，在x轴上是否存在点F，使A,C,F,G,这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标，不存在则说明理由
将A，B两点坐标带入曲线方程，得方程组：
0=8-4b+c
0=1/2+b+c
解得：b=3/2，c=-2
因此抛物线方程为y=1/2x^2+3/2x-2
因此C点坐标为（0，-2）
因为A、C、F、G四点能组成平行四边形，而F在x轴上，即平行四边形AFCG，或平行四边形ACFG。
（1）当平行四边形AFCG时，即AF//CG
因此CG斜率与AF斜率相同，为0，即G点纵坐标与C点纵坐标相同，为-2.
带入抛物线方程，求的横坐标为0或-3，因为G异于C点，因此G坐标为G（-3，-2）
CG长度为3。.
若使AFCG为平行四边形，只需AF=CG，即AF长度为3。
因为A（-4,0），所以F（-7,0）或（-1,0）
（2）当平行四边形ACFG时，即AC//FG
AC斜率为-1/2，设F（m，0），则FG直线方程为y=-1/2（x-m）。
与抛物线方程联立，交点横坐标为-2-(m+8)^(1/2)[这是因为交点坐标显然需要小于-4]
即G（-2-（m+8）^(1/2)，2+m/2+(1/2)(m+8)^(1/2))，因此，FG长度的平方可求，其应与AC长度的平方相等，因此可以求得m，得解