Question

若方程sinx+根号3cosx+a=0 (0,2pi)内有两个不同的实数根a,b,求实数a的取值范围及a+b值

若方程sinx+根号3cosx+m=0 (0,2pi)内有两个不同的实数根a,b,求实数m的取值范围及a+b值

Answer 1

sinx+根号3cosx+a=0
2[(1/2)sinx+(根号3/2)cosx]+a=0
2sin(x+π /3)+a=0
sin(x+π /3)=-a/2
-1<-a/2<1 a≠0
-2<a<2 a≠0

追问

a也不等于-跟号3吧

追答

可以。

追问

那a+b的值的范围会吗，我主要是这个不会算，谢谢

追答

这里a与前面的a应该不是同一个a吧？如果不是，我用x1、x2表示，那么：
x1+x2=π/2-π/3=π/6
或x1+x2=3π/2-π/3=7π/6

Answer 2

化简结果在这里就不赘述，直接给化简后的式子。
sin(x+pi/3)=-a/2

a、b是两个不同的实根。
把a带入得到以下方程
sin(a+pi/3)=-a/2

问题来了
如果有解，a的值就确定了，不存在范围。

现在看看a有没有值
a是上述方程的解，实质就是（a，-a/2）是函数sin(x+pi/2)图像上的点
问题即可转化为sin（x+pi/3）和y=-x/2在区间（0，pi）内有无交点的问题。
（0,2pi/3）内sin（x+pi/3）>0>-x/2，不可能有交点
（2pi/3，2pi）内y=-x/2<-pi/3<sin(x+pi/3)，也不可能有交点
即这样的a不存在。

你在看看题目，看是不是有什么遗漏或者抄写错误什么的。

追问

方程中的a和实数根中的a不是同一个值，不好意思！

追答

是m的话就好办了。

方程化简就是：sin(x+pi/3)=-m/2

由于方程在（0，2pi）内有两个不等的实根a、b

 

则必有-1<-m/2<1

且-m/2≠根号3/2（因为这是个开区间，不含0和2pi，没有两个不等的实根，即使是闭区间也有三个不等的实根）

所以m的取值范围为-2<m<2，且m≠-根号3

说明下，m=0是可以的，此时的不同解为2pi/3、5pi/3

 

 

第二问很简单，用一条y=-m/2的曲线去和这个正弦函数相交，交点就是解，很简单就可以知道有两种情况，一是交点在x轴上方，一种是在下方

由于图形关于最值对称，所以两个解的均值必为最值

所以a+b=pi/6*2=pi/3

或者a+b=7pi/6*2=7pi/3

 

给你个图你参考下

横轴是以pi为单位的。

可以看见m=0完全没有问题，两种情况也很清楚。