Question

积分问题，求过程∫(x^n)×[e^(-ax)]dx

Answer 1

这不是拉普拉斯变换么。。。

连续分部积分，每一次对e^(-ax)积分，对x^n微分。

只要x的次数不是0，那么与e^(-ax)相乘以后在x=0和x=+∞上取值都是0

当分部积分n次以后，x的次数终于降到了0，而总共微分了n次前面得到了系数n!

并且因为e^(-ax)的n次，所以前面还得到了系数1/a^n

最后一次积分，再乘以一个1/a，得到n!/a^(n+1)

正负号的问题，分部积分时产生一个负号，e^(-ax)积分时产生一个负号，但分部积分比e^(-ax)积分次数少一次，所以最终得到的是负的。但是，因为是f(正无穷)-(0)，所以又产生一个负号

最终结果是正的

其实n取0也是正确的。0!=1