Question

证明标准正交基：设a1,a2,...an是n维欧氏空间V的一组基,a,b是V中任意向量,

且a=∑(i=1→n)xiai，b=∑(i=1→n)yiai，证明：（a,b）<=>a1,a2,a3......an是标准正交基

Answer 1

证明标准正交基：设a1,a2,...an是n维欧氏空间V的一组基,a,b是V中任意向量,
且a=∑(i=1→n)xiai，b=∑(i=1→n)yiai，
证明：
（a,b）＝∑(i=1→n)xiyi
<=>a1,a2,a3......an是标准正交基

X=(x1,x2,,,,,xn)
Y=(y1,y2,....yn)
A=(a1,a2,,,an)

符号 ‘ 表示转置

a=XA'
b=YA'
取一组标正基p1,p2....pn,把a1,a2,,,,an用pi表示

A'=M(p1,p2,...pn)'=MP

a=XMP'
b=YMP'
(a,b)=ab'=XMP'PM'Y'=XMM'Y'
若(a,b)=XY' 那么MM'=n阶单位矩阵，M是正交矩阵。

(a1,a2,,,an)'=M(p1,p2,...pn)'这是a1,a2,,,an与一组标准正交基的关系，其中MM'=n阶单位矩阵，M是正交矩阵。
所以(a1,a2,,,an)也是标正基

反之很容易验证，不证了