Question

一道函数题：如图，抛物线y=ax^2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，

一道函数题：如图，抛物线y=ax^2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A（-1，0）、C（0，-3）.
（1）求抛物线y=ax^2+bx+c的解析式；
（2）在对称轴上是否存在一个P点，使三角形PAC的周长最小。若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

没图，各位看看能不能答出来！要完整的过程哦！

Answer 1

答：
（1）抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴x=-b/(2a)=1，所以：b=-2a……（a）
把点A（-1，0）和点C（0，-3）代入抛物线方程得：
a-b+c=0……（b）
0+0+c=-3……（c）
由（a）至（c）三式解得：a=1，b=-2，c=-3
所以抛物线方程为：y=x^2-2x-3

（2）存在。
抛物线与x轴的交点B为（3，0）。
三角形PAC的周长=AC+PA+PC，AC是固定的，关键是看PA+PC的大小。
因为点P在抛物线的对称轴上，设为（1，p），对称轴是AB线段的垂直平分线。
所以：PA=PB
所以：PA+PC=PB+PC>=BC
当P、B、C三点共线时，PB+PC的值最小为线段BC。
BC直线为：y-0=(x-3)(-3-0)/(0-3)=x-3，即：y=x-3
点P在直线BC上：p=1-3=-2
所以：点P为（1，-2）。

Answer 2