Question

设λ1 λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征值，X是矩阵A对应λ1的特征向量，证明λ1 λ2是A的转置的特征值

如Y是A的转置对应λ2的特征向量，证明X与Y相交

Answer 1

考虑特征多项式。A的特征多项式，和A^T的特征多项式相同。

进而A的特征值是A^T的特征值，但对应的特征向量不同。

追问

能写下详细过程不咯 我看不太明白 谢啦

追答

lA-λEl=l(A-λE)^Tl=lA^T-λEl

故A和A^T有相同的特征值。

AX=λ1X
A^TY=λ2Y故Y^TA=λ2Y^T

λ2Y^TX=Y^TAX=Y^Tλ1X=λ1Y^TX

故(λ1-λ2)Y^TX=0，注意到λ1-λ2不等于零

故Y^TX=0，即X与Y正交。