Question

设函数f(x)在区间(0 ，+∞)内具有二阶导数，满足f(0)=0，f"(x)＜0，又0＜a＜b，则

当0<a<x<b时恒有： ( )
A af(x)>xf(a)。B bf(x)>xf(b)。C xf(x)>bf(b)。 D xf(x)>af(a)。
答案是B 请给出四个选项的证明 谢谢

Answer 1

考虑F=f(x)/x F'=(xf'(x)-f(x))/x^2
由泰勒公式：f(0)=f(x)+f'(x)(-x)+f''(a)(-x)^2/2<f(x)+f'(x)(-x)
即：0<f(x)-xf'(x)
F'<0
当0<a<x<b时恒有F(x)>F(b)
f(x)/x>f(b)/b
即：bf(x)>xf(b)。

Answer 2

解：根据题设f(x)=-x^2
A af(x)>xf(a)得到-ax^2>-xa^2
即 x<a 不成立
其余类似都就可以证明了。这也是一种证明的方法

追问

你这种方法我已经想到了 但按这种构造c选项也是正确的 并且这只能证伪而不是证明