Question

二重积分与曲线积分区别

二重积分∫∫L f(x,y)dxdy ，L是积分区域，当L是一个曲线，不是面时，与曲线积分∫L f(x,y)ds有什么区别?

Answer 1

1，首先，二重积分是对面积微元的积分，不是线
2，其次， 曲线积分分为第一类和第二类，而第二类曲线积分由高斯公式可化为二重积分，即由线积分化为面积分
3,你写的（第二个式子）是第一类曲线积分，和二重积分没有一毛钱关系
4，好好上高数课

Answer 2

二重积分∫∫D f(u,v)dudv 和∫∫D f(x,y)dxdy 实际上是一样的,只是改变了字母
显然在这个式子里,
二重积分∫∫D f(u,v)dudv 进行计算之后得到的是一个常数,不妨设其为a,
即 f(x,y)= xy + a,
现在将这个等式两边都在区域D上进行二重积分,
即 ∫∫D f(x,y)dxdy = ∫∫D xy dxdy + ∫∫D a dxdy
显然等式左边也等于a,
即 a=∫∫D xy dxdy + ∫∫D a dxdy
而 ∫∫D dxdy 就等于区域D的面积S,
S=∫ (上限1,下限0) x² dx

Answer 3

二重积分的区域是曲线，这是你自己想出来的吗？
我做过的二重积分的积分域都是平面面积，没见过用直线曲线的
那按照你的想法，你认为一个以曲线为积分域的二重积分有什么意义？