Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成的角的余弦值为

作业呀，求求大家了

Answer 1

记A1B1中点为你N，连接D1N，令正方形边长为1
四边形DD1NM为矩形，故DM平行于D1N
异面直线DM与D1B所成的角为角ND1B
BN=D1N=5^（1/2)/2, BD1=3^(1/2),
由余弦定理有cos∠ND1B=15^(1/2)/5

追问

BD1是咋求出来的

追答

在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD=2^(1/2),在Rt△BDD1中，由勾股定理BD1=3^(1/2)

Answer 2

取CD的中点N，连接NB，ND1，设棱长为2，则BN=ND1=根号5，BD1=2根号3（长方体的对角线=根号下（长^2+高^2+宽^2），用余弦定理可求得角NBD1的余弦为根号15/5
或建立空间坐标系（AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴），设棱长为2，M（1，0，0），D（0，2，0），B（2，0，0），D1（0，2，2），向量MD=（-1，2，0），向量BD1=（-2，2，2），夹角余弦=（2+4）/（根号5*2倍根号3）=根号15/5

Answer 3

方法无外乎就两种。一种是建系向量法；另一种就是纯几何法。你这道题算比较简单的题了。