Question

一道关羽坐标曲面积分的高数题

Answer 1

解：∵令P=x^3，Q=y^3，R=z^3+3z
则αP/αx=3x^2，αQ/αy=3y^2，αR/αz=3z^2+3
∴根据奥高定理，得
曲面积分Ⅰ=∫∫∫<V>(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz (V是Σ所围成的立体区域)
=3∫∫∫<V>(x^2+y^2+z^2+1)dxdydz
=3∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫<0,√(1-r^2)>(r^2+z^2+1)dz (作柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>[3(r^2+1)(1-r^2)^(1/2)+(1-r^2)^(3/2)]rdr
=π∫<0,1>[3(r^2+1)(1-r^2)^(1/2)+(1-r^2)^(3/2)]d(r^2)
=π∫<0,1>[3(t+1)(1-t)^(1/2)+(1-t)^(3/2)]dt (令t=r^2)
=2π∫<0,1>(6z^2-2z^4)dz (令z=(1-t)^(1/2))
=2π(3-2/5)
=8π/5。