Question

如图,在平面直角坐标系中,已知A点坐标(4,0)B点坐标(0,8),点M是线段OA上一动点

如图,在平面直角坐标系中,已知A点坐标(4,0)B点坐标(0,8),点M是线段OA上一动点（不与点O,点A重合），点N是线段OB上一动点，且运动时始终保持ON=2AM,连接MN，并作△OMN的角平分线OD交线段MN于点D.
（1）当△ODN相似且相等△ODA时，线段MN上有哪几个整数点（横坐标，纵坐标都是整数的点）？
（2）当OD=DM时，求△OMN中的整数点的个数（包括三角形边上的点），并说明理由。
（3）点D可能是整数点吗？若存在，则请求出OM的长度：若不存在，则说明理由。

详细过程，初中的，只限今天22：00前。

Answer 1

令M点为（a，0）N点为（0，b）
线段MN的方程为：y=（-b/a)*X+b
由ON=2AM，得
b=2（4-a）
b=8-2a

1、由△ODN≌ODA得
ON=OA
解得b=4，则a=2
MN的直线方程为
y=-2x+4，4>X>0，8>y>0
当X=1时，y=2
X=2时，y=0
X =3时，y=-2（舍去）
则线段MN上有两个整数点，分别是（1，2）（2,0）

2、直线OD的方程为：y=x
联立直线OD与线段MN的方程，解得交点D为（ab/(a+b)，ab/(a+b)），
由OD=DM得，△OMD为等腰直角三角形，过D做DQ垂直于X轴
则OM=2OQ
a=2ab/(a+b)，联立b=8-2a
得a=b=8/3
则MN的方程为：y=-X+8/3
则△OMN中整数点为（0,0）（1,0）（2，0）（0，1）（0,2）（1,1）（2,2）共7个

3、点D为（ab/(a+b)，ab/(a+b)），
令ab/(a+b)=1，联立b=8-2a得
2a^2-9a+8=0,可判断有解
a1=（9+√17）/4, a2=(9-√17）/4

令ab/(a+b)=2，联立b=8-2a得
a^2-5a+16=0,可判断无解

令ab/(a+b)=3，联立b=8-2a得
2a^2-11a+24=0,可判断无解

则D有可能为整数点（1，1）
此时OM=a=（9±√17）/4,