Question

高等数学，三重积分

体重的积分顺序为甚么是z排在第一？如果变化的话会错误么

Answer 1

在直角坐标系中计算三重积分的时候，通常来说有两种方法，一种是投影法，形象的说就是把空间立体视为“一捆柴”，具体做法是——先穿线，做一条平行于某条坐标轴的直线，使其与立体边界至多有两个交点（当然，允许存在母线平行于坐标轴的柱面），次截面，利用第一步选定的维度和另一个维度确定一组平面，将立体截割，后立体，最后再结合剩下的一个维度将整个立体表达清楚完整。投影法可以看成是先定积分在二重积分。还有一种方法是平面截割法，形象的说是“千层饼”，是先截割平面，再将平面堆叠，这个方法符合物理上的探索方式，理解起来相对容易，但是应用时候要注意要选定恰当的方向还有就是截口是否是规则的几何体，若是截口不规则处理起来就比较麻烦了。而坐标变换之后再求积分其实还是三个维度来确定这个空间立体，处理思路还是类似的。对于你说的问题，变换次序是没有问题的，但是积分的上下限就要有所变化，还要改变投影方向，处理起来十分复杂，通常采用的是只有两个交点的坐标轴线方向作为投影方向，这样投影面的边界容易确定。就像你说的这个题目，首先进行过积分坐标变换之后，只有z方向是定向的，先对z积分就相当于是将立体投影到了xoy平面上，继而确定p和0的范围，而p和0是不定方向的，没法确定投影方向，因此你这个题目不能变换积分次序。一般可以变换的大都是直角坐标系下的三重积分。

Answer 2

积分顺序是可以互换的，这也是积分的一个特性。但是互换之后要处理好变量之间的关系。以dxdydz的形式来说明，若把dx放到最后来积分，那么前面的二重积分即dydz积分的积分结果一般是跟X变量有关的或者直接就是常数，如果你把dz放到最后来积分，那么dxdy的积分则为跟Z变量有关的函数或者也是直接就是常数，但是其最后结果是相同的。