Question

如图，P为正方形ABCD的BC边上一点，AQ平分角DAP交CD于点Q.

如图，P为正方形ABCD的BC边上一点，AQ平分角DAP交CD于点Q.
（1）求证AP=BP+DQ（2）若将AQ平分角DAP与AP=BP+DQ互换，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由.

Answer 1

(1)延长PB至点E，使BE=DQ，则有
△AEB≌△AQD
得∠AEB=∠AQD，∠BAE=∠DAQ
∵AB//CD
∴∠BAP+∠PAQ=∠BAQ=∠AQD
∵AQ平分角DAP交CD于点Q
∴∠BAQ=∠BAP+∠DAQ=∠BAP+∠BAE=∠EAP
∴∠EAP=∠AEB
∴AP=EP=EB+BP=DQ+BP
（2）若将AQ平分丛神举角DAP与AP=BP+DQ互换，其他条件不变，渗碧瞎穗结论成立

追问

第二问的理由呢？

追答

反推就可以了！

追问

不会反着推，加10分，请写一下第二问的过程，谢谢!!!

Answer 2

证法1：作EM⊥AF于M．∵首虚∠B=90°,∴∠B=∠AME=90°,∵∠1=∠2,AE是公共边,∴BE=EM,∴Rt△ABE≌Rt△AME．∴AM=AB=BC,EM=BE．①
连接EF,E是BC中点,∴EC=BE=EM∴Rt△EMF≌Rt△ECF,∴FM=FC、②
综合①、②得AF=AM+MF=BC+CF．
证法2：过中点E作EM∥AB,交AF于M．则AM=MF,且∠1=∠2=∠3．
∴EM=AM=
1
2
AF
∵EM=
1
2
（告芹液袜物AB+CF）,∴AF=AB+CF=BC+CF