Question

已知点F1,F2为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,B>0)的左右焦点，P为右支上一点，点P到右准线的距离为d

若|PF1|,|PF2 |,d依次成等差数列，则该双曲线获得离心率的取值范围是

Answer 1

根据双曲线定义可知，|PF1|-|PF2|＝2a，|PF2|/d=e；
由于 |PF1|、|PF2 |、d 成等差数列，所以 2*|PF2|＝|PF1|+d；将前面关系代入得：
2*d*e=(2a+de)+d，∴ e=(2a+d)/d＝2a/d +1；
P到右准线的距离不小于右顶点到右准线的距离，即 d≥a-(a²/c)=a(1 -1/e)；
∴ a/d≥1/(1 -1/e)=e/(e-1)；
代入前求得的 e 表达式式：e≥2e/(e-1) +1=(3e-1)/(e-1)，将不等式化简：e²-4e+1≥0；
解得 e≥2+√3（e≤2-√3 不符合定义，舍去）；