Question

已知二次函数满足f(x+1)-f(x)=x+1，且f(x)的图像过原点，求f(x)

Answer 1

设f(x)=ax²+bx
因为f(x+1)-f(x)=x+1
所以a(x+1)²+b(x+1)-ax²-bx=x+1
即2ax+a+b=x+1
所以2a=1,a+b=1
所以a=1/2,b=1/2

所以f(x)=x²/2+x/2=(x²+x)/2

如果不懂，请追问，祝学习愉快！

Answer 2

设f(x)=a*x^2+b*x.则
f(x+1)-f(x)=(a*x^2+a*2*x+a*1)+(b*x+b)-(a*x^2+b*x)=2*a*x+a+b
∵f(x+1)-f(x)=x+1,
∴2*a=1,a+b=1.
∴a=1/2,b=1/2.
f(x)=(1/2)*x^2+(1/2)*x.

Answer 3

解：设f(x)=ax^2+bx+c
因为图像过原点，所以c=0
令x=1,则f(2)-f(1)=2
f(1)-f(0)=1
联立两式解得a=1/2;b=1/2
f(x)=x^2/2+x/2