Question

急急急！跪求帮忙做一下这六个判别级数敛散性的题！！！

我们学到正项级数。有比较判别法、比较判别法的极限形式、比值判别法.

求解题步骤，急急急~~~

十点之前算出来吧

Answer 1

1）

an=[2+(-1)^n]/2^n
0<an<=3/2^n
而∑3/2^n收敛
所以∑[2+(-1)^n/2^n]收敛

2）
0<an=1/n[√(n+1)-√(n-1)]=2/{n[√(n+1)+√(n-1)]<1/(n√n)
而∑1/(n√n)收敛
所以∑1/n[√(n+1)-√(n-1)]收敛
3）
an=1/(3^n-2^n)
lim[a(n+1)/an]=lim(3^n-2^n)/[3^(n+1)-2^(n+1)]=1/3<1
所以∑1/(3^n-2^n)收敛
4）
an=n^(n+1)/[(n+1)^(n+2)]={[1-1/(n+1)]^(n+1)}/.(n+1)~1/e(n+1)
而1/e(n+1)为调和级数，发散
所以∑n^(n+1)/[(n+1)^(n+2)]发散
5)
an=n/[(a+1/n)^n]=n/a^n*[(1+1/an)^(an)]^(1/a)]~n/[a^n*e^(1/a)]
lim{(n+1)/[a^(n+1)*e^(1/a)]}/{n/[a^n*e^(1/a)]}=1/a
a<1时发散
a>1时收敛
a=1时an~n/e发散
所以a<=1时发散 a>1时收敛

6）
/x/=1时，an=1/2≠0 发散
/x/<1时 lim an=1≠0 发散
/x/>1时
0<an<1/[x^(2n)]
1/[x^(2n)]收敛，所以此时∑an收敛

于是有
/x/<=1时 发散/x/>1时 收敛

Answer 2

做第一题我还以为真是要求和，
做第二题的时候我思考着是不是真的要求和，
做第三题的时候我很坚定的说这根本就不是求和，
压根只要判断是否收敛就可以了啊，
这尼玛真坑人

Answer 3