Question

请问，函数f（X）＝－X3＋1在（负无穷，0）上是增函数还是减函数?证明谢谢

Answer 1

减函数
设x1,x2在（负无穷，0）,且x1<x2
f(x1)-f(x2)=( - x1^3+1)-(-x2^3+1)=x2^3-x1^3=(x2-x1)(x2^2+x1*x2+x1^2)
因为x1<0,x2<0 ,x1*x2>0 x2^2+x1*x2+x1^2>0
x1<x2 x2-x1>0
所以f(x1)-f(x2)>0 单调减

Answer 2

对f(x)求导，f(x)'=-3x^2，一阶导数在(0,+∞)上恒小于0，因此单调递减
用定义证比较简单。
证：
设定义域上x1，x2，且x1<x2
f(x2)-f(x1)=(-x2³+1)-(-x1³+1)
=x1³-x2³
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)
由均值不等式得：x1²+x2²>2|x1x2|>x1x2
x1²+x1x2+x2²>0，又x1<x2 x1-x2<0
f(x2)-f(x1)<0
f(x2)<f(x1)
函数在(-∞,0)上是减函数

Answer 3

单调递减，定义法。