Question

高二数学考试大题目

经过抛物线y平方＝－8x的焦点且和抛物线的对称轴成60度的角的直线与抛物线交A.B两点，求｜AB｜

Answer 1

y² = -8x = -2px
p = 4
焦点F(-2, 0), 准线x = 2, 对称轴x轴
因为对称性，不妨设AB的倾斜角为60˚, 斜率k = tan60˚ = √3
方程y - 0 = √3(x + 2), y = √3(x + 2)
代入抛物线: 3(x² + 4x + 4) + 8x = 0
3x² + 20x + 12 = (3x + 2)(x + 6) = 0
x = -2/3或x = -6
根据抛物线的定义:
|AB| = |AF| + |BF|

= A与准线的距离 + B与准线的距离
= (2 + 2/3) + (2 + 6)
= 32/3

Answer 2

标准答案：
抛物线y²=-8x的焦点为F(-4,0),
由于AB过F，跟x轴成60°角，所以斜率为k=tan60°=√3，或者是tan120°=-√3.
直线AB为：y=±√3(x+4)
A,B的横左标x_A,x_B满足方程：3(x+4)^2=-8x,即3x^2+32x+48=0
有x_A*x_B=16，x_A+x_B=- 32/3
|AB|^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2=(x_A-x_B)^2+[√3(x_A+4) - √3(x_B+4)]^2=4(x_A-x_B)^2
=4 [(x_A+x_B)^2 - 4x_A*x_B]=4*[(-32/3)^2-4*16]=1792/9
所以|AB|=16√7/3