Question

如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，

如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
如图，当点P为线段EC中点时，证明：PR+PQ=12/5

Answer 1

连接BP，已知BE=BC所以∠BPE=∠BPC（三线合一）
又已知BP=BP,EP=PC,所以三角形BEP全等于三角形BPC
所以三角形BPR全等于BPQ
所以PR=PQ，BE=BC=4
ED=5-4=1
用余弦定理：
EC平方=ED平方+DC平方-2ED*DC*cos∠EDC
=1+9-2*3*3/5
=10-18/5
=32/5

BP平方=BC平方-PC平方
=BC平方-EC平方/4
=16-8/5
=72/5
又BP平方=BQ*BC（相似三角形）
=4*BQ
所以BQ=18/5
QC=2/5

PQ平方=BQ*QC
=2*18/25
=4*9/25
PQ=6/5
因为PR=PQ，所以PQ+PR=2*6/5=12/5