Question

高数极限代换问题

为什么1+sinx,cosx过程中直接用1代
什么条件下可以在计算过程中可以把这些代换为常数

Answer 1

个人认为，保险起见，都只在最后一步代入。如果要在中间换的话，要确保极限存在。（这实在不好表达清楚，还是看一下这道题里的例子，然后自己体会算了……）
原题先取对数
ln原式=lim(x→0)ln(1+(tanx-sinx)/(1+sinx))/x^3
=lim(x→0)ln(1+(tanx-sinx)/(1+sinx))/((tanx-sinx)/(1+sinx))*((tanx-sinx)/(1+sinx))/x^3
=lim(x→0)ln(1+(tanx-sinx)/(1+sinx))/((tanx-sinx)/(1+sinx))*lim(x→0)(tanx-sinx)/x^3*lim(x→0)1/(1+sinx) （因为(tanx-sinx)/(1+sinx)→0，所以第一个极限=1。可以这样拆开是因为每个极限都存在，除了中间那个现在不知道之外。）
=1*lim(x→0)(tanx-sinx)/x^3*1
=lim(x→0)sinx(1-cosx)/x^3*1/cosx
=lim(x→0)x*(x^2/2)/x^3*(1-cosx)/(x^2/2)*sinx/x*lim(x→0)1/cosx （同样地，这两个极限都存在）
=lim(x→0)x^3/(2x^3)*lim(x→0)(1-cosx)/(x^2/2)*lim(x→0)sinx/x （同上）
=1/2*1*1
=1/2
（当然，这么写其实很繁琐，不过可以保证每一步都正确。）
最后原式=e^(1/2)

Answer 2

解：有一些熟知的极限的结果是直接能用的
如当x趋向于0，sinx/x的极限就是1（洛必达法则上下求导），（1-cosx）/x^2的极限就是1/2(也是洛必达法则上下求导)，这些结论需要自己在做题过程总结的。
反正类似于A/B=C,在趋向值一致的情况下，A=BC，B=A/C,这样转化都是可以的。
在这题里，x趋向于0，由sinx/x的极限就是1，1+sinx，sinx都可以直接被X替换，
1-cosx就被1/2x^2替换。