Question

过点P（-2,0）作直线l交圆x²+y²=1于A，B两点，则向量PA.向量PB=

Answer 1

过点P(2,0)作倾斜角a为的直线L与曲线x^2+2y^2=1交于A、B两点；(1)写出直线L的参数方程；%D%A(2)sina的取值范围；(3)向量PA*向量PB的最小值%D%A解：(1)直线L的参数方程为：x=2+tcosα，y=tsinα. (t∈R，arctan(-1/√7)≦α≦arctan(1/√7))%D%A(2)将直线L的参数方程改写成直角坐标方程y=k(x-2)，代入椭圆方程得：%D%Ax²+2k²(x-2)²=1，展开化简得：(1+2k²)x²-8k²x+8k²-1=0，当直线与椭圆相切时，此方程只有一%D%A个实数根，故其判别式Δ=64k⁴-4(1+2k²)(8k²-1)=-28k²+4=0，于是得k=±1/√7，即%D%A-1/√7≦k=tanα≦1/√7；故-1/(2√2)≦sinα≦1/(2√2)，或写成-(√2)/4≦sinα≦(√2)/4.%D%A(3)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；则PA=(x₁-2，y₁)；PB=(x₂-2，y₂)。%D%A于是PA•PB=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=x₁x₂-2(x₁+x₂)+y₁y₂+4..............(1)%D%A其中x₁+x₂=8k²/(1+2k²)； x₁x₂=(8k²-1)/(1+2k²)；%D%Ay₁y₂=k²(x₁-2)(x₂-2)=k²[(x₁x₂-2(x₁+x₂)+4]%D%A=k²[(8k²-1)/(1+2k²)-16k²/(1+2k²)+4]=3k²/(1+2k²)%D%A代入(1)式得PA•PB=(8k²-1)/(1+2k²)-16k²/(1+2k²)+3k²/(1+2k²)+4=3k²/(1+2k²)≧0%D%A即当k=0时获得PA•PB的最小值，其最小值为0。