Question

已知函数f(x)的定义域为(0 正无穷),当x>1时,f(x)>0,且f(xy)=f(x)+f(y）

问：（1）求f(1) (2)证明f(x)在定义域上是增函数 （3）如果f(1/3)=-1,解不等式f(x)-f(1/x-2)>=2

Answer 1

(1)
令x=y=1
f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)
f(1)=0
(2)
令xy=x2,
x=x1,且0<x1<x2
则y=x2/x1>1
f(x2)=f(x1)+f(x2/x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
0<x1<x2,
x2/x1>1
f(x2/x1)>0
即，
f(x2)-f(x1)>0
f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)是增函数；
(3)
令x=3,y=1/3
f(1)=f(3)+f(1/3)
0=f(3)+(-1)
f(3)=1
f(9)=f(3*3)=f(3)+f(3)=2
f(x)-f(1/(x-2))≥f(9)
f(x)≥f(9)+f[1/(x-2)]
f(x)≥f[9/(x-2)]
因为f(x)是（0，+∞）上的增函数，所以，
x≥9/(x-2)
x(x-2)≥9
x^2-2x-9≥0
大根为：x2=1+√10
小根为：x1=1-√10
x≥1+√10,或x≤1-√10
有的答案可能是复制的；

Answer 2

（1）令x=y=1，解得f（1）=0
（2）令y=1/x，那么f（1）=f（x）+f（1/x）=0，得f（x)=f(-1/x)
任取X1>X2>0,所以f（X1/X2）=f（X1）+f（1/X2)=f（X1）-f（X2)
因为X1/X2>0,所以f（X1/X2）>0，所以f（X1）>f(X2),所以就证明了f（x）在（0，正无穷）是增函数
所以f（x）在定义域内是增函数。
（3）f(1/3)=-1，由（2）的结论可得f（3）=1，所以f（3）+f（3）=f（9）=2
所以f(x)-f(1/x-2)>=2变形为f（x）+f（x-2)≥f（9）
即f（x（x-2））≥f（9）
由于f（x）是增函数，所以x（x-2）≥9，解得x≥1+根号10

追问

f（X1）-f（X2)是怎样转变的？