Question

（急）二重积分问题

假设区域D：x^2+y^2=a^2
∫∫(x^2+y^2)dσ= ∫∫a^2dσ=a^2∫∫dσ
∫∫dσ不是等于区域D的面积么 那 ∫∫(x^2+y^2)dσ不是应该等于a^2*πa^2=πa^4么
但利用极坐标就变成 ∫∫(x^2+y^2)dσ=∫(0,2π)dθ∫(0,a)r^3dr=πa^4/2
答案为什么不一样 求大神解答

Answer 1

区域D：x^2+y^2=a^2 ，这个表述有问题
应该是
区域D：由圆x^2+y^2=a^2 所围，所以
x²＋y²≤a²的
所以
第一种解法不对。只有区域边界才有x²＋y²=a²，内部所有的点都不成立，所以不能那样做。

Answer 2

第一种做法有误。注意x^2+y^2=a^2只是区域D的边界，没包含D的内部。
D的内部的点满足x^2+y^2<a^2。
而二重积分是在区域D={(x,y):　x^2+y^2<=a^2} 上的积分，
因此不能直接将被积函数x^2+y^2代替为a^2。
如果这是第一型曲线积分，那么被积函数x^2+y^2可以直接替换为a^2了。

Answer 3

区域D：x^2+y^2≤a^2
只在边界上才是x^2+y^2=a^2，而现在是二重积分，不是曲线积分， ∫∫(x^2+y^2)dσ≠∫∫a^2dσ