Question

解不等式(x-2)(x+1)>0运用了什么数学思想

例：解不等式(x-2)(x+1)>0.
解:由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
① x-2>0
x+1>0
或②x-2<0
x+1<0
解不等式组①，得x>2;解不等式组②得x<-1.
所以(x-2)(x+1)>0的解集为x>2或x<-1。
解答下列问题：
（1）解不等式5x+1/2x-3<0；
（2）通过阅读例题和解答（1），其中运用了什么数学思想方法？

Answer 1

既然你提了这个问题，我感觉你对这个问题还是有一些模糊。其实按照你的解答，整个运算运用了“分类讨论”的数学思想，将不等式分为大于零或小于零来分类探讨根的取值范围。按照你的思想，问题（1）也不难解答（这种思想论述详实分类周全但是却很繁琐）：由分数的性质得①5x+1＞0   2x－3＜0   2x－3≠0 或②5x+1＜0  2x－3＞0   2x－3≠0  ，解不等式组①，得-1/5＜x＜2/3；解不等式组②，得x不存在，所以5x+1/2x－3＜0的解集为-1/5＜x＜2/3。这就是运用了分类讨论思想。在刚刚学习不等式的解法的时候，由于容易理解，所以这是通用的解法，但事实上，当我们很熟练的解不等式的时候可以不用这种繁琐的方法，而用“数轴标根法（俗称穿针引线法）”，大致内容是：在数轴上标出每一个因式等于零的x的根，然后从数轴上最左边的根的左上角引出一条线，逐次穿过每一个根，如果不等式小于零，则取数轴下半部分的根的解集，反之则取上半部分根的解集（这样论述很抽象，请看下图）

如上图阴影部分的范围就是(x-2)(x+1)>0的解集，即x＜-1或x＞2。再看下图：

如上图阴影部分的范围就是5x+1/2x-3<0的解集，即-1/5＜x＜2/3。

再比如：我们现在计算x(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)＞0的解集，用“数轴标根法”表示如下：则此不等式的解集为-1＜x＜0或1＜x＜2或x＞3.

所以在熟练掌握解不等式的情况下，用数轴标根法可以轻而易举的口算出一个复杂不等式的解集，在以后会越来越体会到这种方法的方便性与实用性。

Answer 2

数学思想方法:有理数的除法法则

2x-3分之5x+1＜0

解:由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”，
① 2x-3>0，5x+1<0，或：② 2x-3<0，5x+1>0
不等式组①无实数解，解不等式组②，得-5分之1<x＜2分之3
所以所以原不等式的解集为：-5分之1<x＜2分之3

Answer 3

5x+1>0 2x-3<0或者5x+1<0 2x-3>0可得-1/5<x<3/2,