Question

在三角形abc中，角acb=90度，ac=bc。 ①如图，ae是角平分线，求证:ab=ac+ce；

在三角形abc中，角acb=90度，ac=bc。 ①如图，ae是角平分线，求证:ab=ac+ce； ②如图，在①的条件下，d是边ab上一点cd交ae于f，且cf=ce，求证ad=bd

Answer 1

证明：

①、如图一，过点E作EG⊥AB于G

∵∠ACB=90°，AC=BC

∴△ABC是等腰直角三角形，EC⊥AC

∴∠BAC=∠ABC=45°

∵EG⊥AB

∴∠BGE=∠AGE=90°

∴△BGE是等腰直角三角形

∴GB=GE

∵AE是∠BAC的平分线，EG⊥AB，EC⊥AC

∴GE=CE

而AE=AE

∴△AGE≌△ACE （HL）

∴AG=AC

而GB=GE=CE

∴AG+GB=AC+CE 即 AB=AC+CE

②、如图二

∵∠AEC=∠BAE+∠B，而AE是∠BAC的平分线，∠BAC=∠ABC=45°

∴∠AEC=1/2 ×45°+45°=67.5°

∵CF=CE

∴∠CFE=∠AEC=67.5°

∴∠BCD=∠ECF=180°-67.5°-67.5°=45°

∵∠ACB=90°

∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-45°=45°=∠BCD

∵AC=BC，CD=CD

∴△ACD≌△BCD （SAS）

∴AD=BD