Question

我有一道高中数学题希望大家帮忙解答一下

设A、B、C、D是半径为r的球面上的四点，且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是[ ]A、r2
B、2r2
C、3r2
D、4r2 选B

Answer 1

解以AB,AC,AD为边构造球的内接长方体，即内接长方体的体对角线为球的直径2r
为了叙述的方便设AB=a，AC=b，AD=c
则a²+b²+c²=（2r）²
故S△ABC+S△ABD+S△ACD
=1/2ab+1/2ac+1/2bc
≤(a²+b²)/4+(a²+c²)/4+(b²+c²)/4 （利用a²+b²≥2ab，即(a²+b²)/4≥1/2ab）
=（a²+b²+c²）/2
=（2r）²/2
=2r²
即选B

追问

为什么内接的是长方体不是正方体 a²+b²≥2ab为什么你能解释下吗

追答

以AB,AC,AD为边构造球的内接长方体，这个长方体就包括正方体。
下面证明a²+b²≥2ab
由（a-b）²≥0
展开得a²-2ab+b²≥0
即a²+b²≥2ab。

Answer 2

解：设AB=a,AC=b,AD=c
由A.B.C.D是半径为r的球面上的四点且AB⊥AC,AD⊥AC,AB⊥AD有
√a^2+b^2+c^2=2r 有a^2+b^2+c^2=4r^2
ab≤1/2(a^2+b^2) bc≤1/2(b^2+c^2) ac≤1/2(a^2+c^2)
S△ABC+S△ABD+S△ACD=1/2(ab+bc+ac) ≤1/2[1/2(a^2+b^2) +1/2(b^2+c^2) +1/2(a^2+c^2)]
S△ABC+S△ABD+S△ACD≤1/2(a^2+b^2+c^2)=2r^2“当且仅当a=b=c时取等”