Question

数学不等式题目

已知函数f(x)=|x-3|,g(x)=-|x+4|+m

已知常数a＜2,解关于x的不等式f(x)+a-2＞0
若f(x)图像恒在函数g(x)图像上方，求m取值范围

Answer 1

第一问：
f(x)+a-2>0，即f(x)>2-a，即|x-3|>2-a
所以x-3>2-a，或x-3<-(2-a)
解得：x>5-a，或x<1+a

第二问：
当f(x)图像恒在函数g(x)图像上方时，f(x)>g(x)恒成立
即|x-3|>-|x+4|+m对于x∈R恒成立
也即|x-3|+|x+4|>m对于x∈R恒成立
而|x-3|+|x+4|表示的是数轴上动点到点3和-4的距离之和
当-4≤x≤3时，此距离之和最小，为3-(-4)=7
所以|x-3|+|x+4|≥7
而要使|x-3|+|x+4|>m对于x∈R恒成立
那么m<7

Answer 2