Question

已知函数g(x)=x/lnx，f(x)=g(x)-ax(a>0) (1)求函数g(x)的单调区间 (2)若函数f(x)在(1，+无穷)上是减...

已知函数g(x)=x/lnx，f(x)=g(x)-ax(a>0) (1)求函数g(x)的单调区间 (2)若函数f(x)在(1，+无穷)上是减函数，求实数a的最小值

Answer 1

（1）g(x)=x/lnx，x∈(0,1)∪(1,+∞)
g'(x)=(lnx -x·1/x)/ln²x=(lnx -1)/ln²x<0,得x∈(0,1)∪(1,e)
∴g(x)在(0,1)和(1,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增。
（2）f(x)=g(x)-ax=x/lnx-ax,x∈(0,1)∪(1,+∞)
f'(x)=(lnx -x·1/x)/ln²x - a =(-aln²x+lnx -1)/ln²x .
f(x)在(1，+无穷)上是减函数，则f'(x)=(-aln²x+lnx -1)/ln²x ≤0在（1，+∞）上恒成立。
∵在（1，+∞）上，lnx>0,
设t=lnx,
∴关于t的函数F(t)=at²-t+1≥0对t∈（0，+∞）恒成立，
∵a>0,F(0)=1>0
∴对称轴x=1/(2a)>0
∴△=1-4a≤0,得a≥1/4.
综上，a≥1/4，即a的最小值为1/4

Answer 2

g'(x)=(lnx-x*1/x)/(lnx)^2=(lnx-1)/(lnx)^2

g'(x)>0时得到x>e,即单调增区间是(e,+OO)
g'(x)<0时得到0<x<e,即单调减区间是(0,e)
(2)
f(x)=x/lnx-ax
f'(x)=(lnx-1)/(lnx)^2-a
在(1,+OO)上减函数,则有在此区间上有f'(x)<0
即有a>(lnx-1)/(lnx)^2
设h(x)=(lnx-1)/(lnx)^2=-1/(lnx)^2-1/lnx=-(1/lnx+1/2)^2+1/4
x>1,则有lnx>0,1/lnx>0
所以h(x)在x>1时是单调减的.所以,h(x)的最大值是-(0+1/2)^2+1/4=0
即有a要大于等于h(x)的最大值,即有范围是a>=0.