Question

若方程组x^2+2ay=5,y-x=6a有正整数解,求a的值

Answer 1

由（2）得 y=x+6a ，代入（1）得 x^2+2a(x+6a)=5 ，
化简得 x^2+2ax+12a^2-5=0 ，
配方得 (x+a)^2=5-11a^2 ，
因为方程有解，所以 5-11a^2>=0 ，解得 0<=a^2<=5/11 ，
所以 -√(5/11)<=a<=√(5/11) ，则 -6√(5/11)<=6a<=6√(5/11) ，
由（2）可得 6a 为整数，因此由上式得 6a= -3 、-2、-1、0、1、2、3、4 ，
考虑到 √(5-11a^2)=1/6*√[180-11(6a)^2] ，因此 180-11(6a)^2 必为完全平方数，
检验知 6a= -3、-1、1、3、4 ，
（一）若 6a= -3 ，原方程解得 x=2 ，y= -1 或 x= -1 ，y= -4 ，舍去；
（二）若 6a= -1 ，原方程解得 x= -2 ，y= -3 或 x=7/3 ，y=4/3 ，舍去 ；
（三）若 6a=1 ，原方程解得 x=2 ，y=3 或 x= -7/3 ，y= -4/3 ，符合；
（四）若 6a=3 ，原方程解得 x=1 ，y=4 或 x= -2，y=1 ，符合；
（五）若 6a=4 ，原方程解得 x= -1，y=3 或 x= -1/3 ，y=11/3 ，舍去，
综上可得，当 a=1/6 时，原方程有正整数解（2，3）；
当 a=1/2 时，原方程有正整数解（1，4）。

Answer 2

你发

y-x=6a
x=y-6a
x^2+2ay=5
（y-6a）^2+2ay-5=0
y^2-12ay+36a^2+2ay-5=0
y^2-10ay+36a^2-5=0
（y-5a）^2+11a^2-5=0
（y-5a）^2=5-11a^2
0≤a^2≤5/11
当a=1/2时
y=5/2+√（9/4）=4成立

追问

a为什么≥0？

追答

是a^2
现只能找到这一个解

追问

为什么只有当a=1/2时才能取到整数根？