Question

高数全增量的表达式怎么推导，求高数大神赐教。。。。。求推导过程。。。

Answer 1

全增量应该是针对多元函数来说的，假设函数z=f（x，y），那么全增量表达式就是△z=f(x+△x，y+△y)-f(x,y)

追问

求推导过程

追答

额。。。这个是定义啊。。全增量是函数差值啊。能更清楚的说明下你想知道的吗？看下我能否帮上你

追问

那也有推导过程吧

追答

..................一元函数的导数定义是lim（△x-0）△y/△x，这里的△y=f（x+△x）-f（x），这个是推导得到的么。。这是定义啊。。而对于多元函数来说，△z就相当于△y。。那么类比一下，前人给出的定义就是△z=f(x+△x，y+△y)-f(x,y)

追问

是Adx+Bdy+o(p)的这条

来告诉我一下啊

追答

这个是根据一元函数△y=A△x+o（△x）类比得到的。至于多元函数中的系数，首先△z=f(x+△x，y+△y)-f(x,y)，令△y=0，那么这个函数就可以看成是一元函数，根据一元函数微分的定义就有△z=f（x+△x，y）-f(x,y)=A+o(|△x|),两边同除以△x取极限就得到A=Zx，同理B=Zy，但是o（p）中的p为何是根号x^2+y^2目前我也不知道。我百度了一下，大概是这样的，一元函数中微分只考虑x的变化，所以是根号(△x)^2=|△x|，多元函数呢要同时考虑x和y，所以变化就是根号（x+△x-x）^2+(y+△y-y)^2.
原文如下：在一个空间中有形如一平面的函数f(x,y)
在偏微分中△x看做在x轴方向的变化
△y看做在y轴方向的变化
什么是全微分呢，就是同时考虑x轴方向和y轴方向的变化
这时候的变化就是，初始点在x轴方向变化△x，y轴方向变化△y
总的变化为初始点和终点的距离sqrt((△x)^2+(△y)^2)

追问

谢谢你的回答，但是我觉得你那段百度的解释不足以说明它为什么存在在全增量的式子中

追答

我知道。但是我也没找到直接的解释。我看的两本书上也没有，是直接给出定义。所以不好意思了。

追问

按全增量的式子来看也不是简单的将x的微分和对y的微分相加，所以就算A=Zx,B=Zy,也不能说明全微分等于那样

追答

首先全微分定义是这样：△z=Adx+Bdy+o(p)，这是根据一元函数类比得出的，你要问为什么这几句是定义没有什么为什么，这就是简单的相加，而A，B的值是根据这个定义式求出的，而最大的问题就在于o（p）中的p的求解了。

追问

为什么一元函数的o(p)=|details x|

我的意思是在x方向的details z=Adx+|details x|,在y方向details z=Bdy+|details y|，如果多元函数全增量是这两式相加，则o(p)=|details y| +|details x| 而不是根号下details y平方加details x平方

追答

晕，说着说着我就把全增量和全微分弄一样了。。不好意思
首先全增量是△z，△z沿着x方向的变化量是f（x+△x，y）-f（x，y）=A△x+o（|△x|）
而y轴的变化量是f（x，y+△x）-f（x，y）=B△y+O（|△y|）
两个式子相加不等于△z。这是两个不同的式子啊。。所以不等于平方根是应该的不是吗。。？

追问

那么你只说明了x或y为0的特殊情况，但是还是没有说明全增量等于Adx+Bdy+o(p)。。不是吗？

追答

不是x或y 为0，而是增量x或增量y为0。其次就是我这里没写清楚，x和y其实都是特定的点，二元函数的导数是偏导是建立在另一个变量假定为常数的情况下才成立的，所以这里令增量x或增量y是必须的，这样才是偏导的定义

追问

嗯，我说漏了，我没表达好我的意思。我想问的是Adx+Bdy+o(p)，你说清了当增量x或增量y为零时z的增量为什么是Adx+o(p)或Bdx+o(p)

但是你又说两式不能相加，那么还是没说明z的增量为什么是Adx+Bdy+o(p)对吧

这里打字太辛苦打不出符号。。辛苦你了。

追答

第一，你说的那两个式子是可以相加的，但是两个式子相加不等于△z

第二，为什么等于A△x+B△y+o（p）是定义给出的，这是没办法推导的，二元函数的全增量或者全微分都是根据一元函数类比得到的。这里就说全微分吧，全微分是dz=Adx+Bdy+o（p），我不排除我上面有错的地方，但是这个式子是没有错的，并且是由定义给出的，前人给二元函数的全微分下了这个定义可能是乱来，毕竟类比就是这么回事，但是事实证明这样定义的全微分有它自身的意义所以就被广泛认定使用了。
第三，我说清了当增量x或增量y为零时z的增量为什么是Adx+o(p)或Bdx+o(p)是想说明常数A,B是根据全微分已经成立的定义后推导出的啊。。