Question

如图,点O是△ABC的重心,请问△AOB、△BOC、△AOC的面积有什么关系？说明理由。

Answer 1

解：分别延长CO，BO分别与AB相交于D，与AC相交于E，

∵O是△ABC的重心
∴CO=2OD
CO+OD=CD
∴OC/CD=2/3
∵BO=2OE
BE=OE+OB
∴OB/BE=2/3
∵D ,E分别是AB,AC的中点
∴AD=BD=1/2AB，AE=CE=1/2AC
△ADC的面积：△ABC的面积=BD：AB=1：2
∴△AOC的面积::：△ADC的面积=OC：CD=2/3
∴△AOC的面积：△ABC的面积=1：3
同理可证：△BOC的面积：△ABC的面积=1：3
∴△ABC的面积=3倍△BOC的面积=3倍△AOC的面积

追问

是△AOB、△BOC、△AOC的面积的关系

追答

△BOC的面积=2△AOC的面积=2△AOB的面积啊
我再计算一下 稍等

追问

嗯

追答

上面计算没有问题，追问的我估算回答错了。

∴△ABC的面积=3倍△BOC的面积=3倍△AOC的面积

∴△AOB的面积=△BOC的面积=△AOC的面积=⅓△ABC的面积

看下面这个图更清楚：

∵O是△ABC的重心

∴OD/oa=1/2

OP/AQ=1/3

∴△BOC的面积=⅓△ABC的面积

同理可得

∴△AOB的面积=△AOC的面积=⅓△ABC的面积

∴△AOB的面积=△BOC的面积=△AOC的面积