高等数学两道题求解
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1.
考虑函数F(x)=x^7+(1/3)x^3+1004x^2-Gx
根据题意：F(0)=F(a)=0
又F(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，依罗尔定理在(0,a)内至少有一点ξ
使 F’(ξ)=7ξ^6+ξ^2+2008ξ-G=0
即方程7x^6+x^2+2008x=G必有一个小于a的正根。
2.
lim(k→∞)(uk)^(1/k)=lim(k→∞)[(1+1/k)^k]/5=e/5<1
根据柯西根值判别法∑(k=1到∞)uk收敛
故lim(n→∞)(1/n)∑(k=1到n)uk=0
考虑函数F(x)=x^7+(1/3)x^3+1004x^2-Gx
根据题意：F(0)=F(a)=0
又F(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，依罗尔定理在(0,a)内至少有一点ξ
使 F’(ξ)=7ξ^6+ξ^2+2008ξ-G=0
即方程7x^6+x^2+2008x=G必有一个小于a的正根。
2.
lim(k→∞)(uk)^(1/k)=lim(k→∞)[(1+1/k)^k]/5=e/5<1
根据柯西根值判别法∑(k=1到∞)uk收敛
故lim(n→∞)(1/n)∑(k=1到n)uk=0
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