Question

如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且

在△ABC中，∠BAC=30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点且弧BC=弧CD。弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．

（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．

Answer 1

(1）OB=BP．
理由：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，∠OAC=30°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠COP=60°，
∴∠P=30°，
在Rt△OCP中，OC=1/2OP=OB=BP

（2）由（1）得OB=1/2OP，
∵⊙O的半径是2，
∴AP=3OB=3×2=6，
∵弧BC=弧CD，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠BAD=60°，
∵∠P=30°，
∴∠E=90°，
在Rt△AEP中，AE=1/2AP=1/2×6=3

Answer 2

图呢