Question

求所有正整数对(m,n),使得m^2-4n和n^2-4m均是完全平方数

用两种或以上种方法做

Answer 1

既然m^2-4n和n^2-4m都是平方数，而且显然m^2-4n<m^2
不妨设m^2-4n=(m-k)^2，(k为正整数)
-4n=-2mk+k^2
n=k(2m-k)/4
因此n^2-4m=k^2(2m-k)^2/4-4m
因为n是正整数
所以k(2m-k)能被4整除
所以k必须是偶数

不妨设k=2p，(p为正整数)
则n^2-4m=(p(m-p))^2-4m=c^2
p^2m^2-(2p^3+4)m+p^4-c^2=0
以上一元二次方程有实数根，设为m1、m2
则m1+m2=2p+4/p^2
m1*m2=p^2-c^2/p^2
因为m为正整数
所以4/p^2必为正整数
故p=1或2
p=1时，m1+m2=6，m1*m2=1-c^2
因为c≥0，所以m1*m2=1-c^2≤0
故无解

p=2时，m1+m2=5，m1*m2=4-c^2/4
因为c≥0
所以c=0或2
当c=0时，m1+m2=5，m1*m2=4
解之得m1=1，m2=4
因为n=p(m-p)>0，所以m>p
所以m=4，n=4

当c=2时，m1+m2=5，m1*m2=0
所以m1=0，m2=5
又因为n=b(m-b)>0
所以m=5，n=6

综上所述，(m,n)为(4,4)、(5,6)或（6,5)