Question

设A,B为n阶矩阵,且AB=0,则A，B中至少有一个不可逆？求解答

Answer 1

1.N阶矩阵A是可逆矩阵，2.N阶矩阵A可表示为有限个初等矩阵的积。1与2是互相等价。（见线性代数(华工出版社)p38 定理2.11）
假设A.B都为可逆矩阵，根据上面那个定理，AB不等于0，与AB等于0矛盾
所以假设不成立，A.B至少有一个为不可逆矩阵。

Answer 2

∵AB=0
∴︱AB︱=︱A︱︱B︱=0
故︱A︱=0或︱B︱=0
即A，B中至少有一个不可逆

Answer 3

反证.
若A,B都可逆
则 |A|≠0,|B|≠0
所以 |AB|=|A||B|≠0
但AB=0得 |AB|=0,矛盾.

Answer 4

若A可逆，B=0。