Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-2,0），B（-4,0）两点，与y轴交于点C。

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，且点Q到直线BC的距离最远，求点Q坐标．

Answer 1

答：
1）把点A（-2,0）和点B（-4,0）代入抛物线方程y=-x^2+bx+c得：
-4-2b+c=0
-16-4b+c=0
解得：b=-6，c=-8
所以：抛物线的解析式为y=-x^2-6x-8。

2）抛物线y=-x^2-6x-8的对称轴x=-3，顶点D（-3,1），与y轴的交点C（0，-8）。
△ABC中：AB=-2-(-4)=2；AC=√[(-2)^2+(-8)^2]=2√17；BC=√[(-4)^2+(-8)^2]=4√5。
根据余弦定理得：
cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC*BC)
=(68+80-4)/(2*8√85)=9/√85
设点P为(-3,p)。
△APD中：AD=√[(-3+2)^2+(1-0)^2]=√2，PD=|p-1|，PA=√[(-3+2)^2+(p-0)^2]=√(p^2+1)
根据余弦定理得：
cos∠APD=(PA^2+PD^2-AD^2)/(2PA*PD)
=(p^2+1+p^2-2p+1-2)/[2|p-1|*√(p^2+1)]
=p(p-1)/[|p-1|*√(p^2+1)]
=cos∠ACB
=9/√85
解得：p=9/2或者p=-9/2
所以：点P的坐标为（-3，-9/2）或者（-3,9/2）。

3）直线BC为y-0=(x+4)(-8-0)/(0+4)=-2x-8，即：y=-2x-8
点Q在抛物线上、处于BC直线上方并且离直线BC最远，则经过点Q平行BC的直线必定与BC直线平行，并且是抛物线经过点Q的切线。
设该切线为y=-2x+b，代入抛物线方程y=-x^2-6x-8整理得：
x^2+4x+b+8=0
交点唯一，则判别式△=4^2-4*1*(b+8)=0，解得b=-4；
解方程得：x=-2，代入抛物线方程得y=0
所以点Q为（-2,0），与点A重合。

Answer 2

1. 把两个已知的点代入抛物线中，得一个方程组，解出其值即可。

2. 把抛物线化为顶点式（y=a(x-h)²+k)即得顶点坐标D（h,k），利用等量关系可求。

3. 设与BC平行且经过点Q的直线解析式，与抛物线交点，判断哪个交点最远即可。