Question

数列与不等式综合问题

已知:数列递推如下：a(n+1)=1/2a(n)^2-1/4a(n)+3/4,其中a1=a(1/2<a<1)求证:|a1-1|+...+|an-1|<2

Answer 1

我只是补充一点：sher1986前边的都对，下边部分是错误的，我给更正一下：
证完小于0，下面证|a1-1|+...+|an-1|<2，（实际也能感觉到了吧）
下证b(n+1)>1/2b(n)
b(n+1)=1/2b(n)(b(n)+3/2)>1/2b(n)
b(n)^2+1/2b(n)>0
b(n)(b(n)+1/2)>0
这个在上面证到了（-1/2<b(n)<0），那么就搞定了。

改正：b（n+1)=1/2b(n)(b(n)+3/2)>3/4b(n)，他出现了一点小错误，b（n+1)＜1/2b（n)而不是大于。b(n)^2+1/2b(n)>0，b(n)(b(n)+1/2)>0这两个也是，应该是小于的，不是大于。
由于b（n）＜0所以|an-1|=|b(n)|＜3/4|b(n-1)|＜|b1|（3/4）^（n-1)
可证：|a1-1|+...+|an-1|=|b1|+...+|b(n)|＜|b1|（1+....+(3/4)^(n-1)）=|b1|（1-（3/4）^n）/（1-1/4）=4|b1|（1-（3/4）^n）＜2（1-（3/4）^n）＜

Answer 2

先随便写写吧
a(n+1)-1=1/2a(n)^2-1/4a(n)-1/4
=1/2(a(n)-1)(an+1/2)
a1=a(1/2<a<1)，（其实随便试个数就发现a(n)-1一直小于0了,下证）
设b(n)=a(n)-1
那么b(n+1)=1/2b(n)(b(n)+3/2)
因为-1/2<a(1)-1<0,-1/2<b(1)<0,下证，对所有n，-1/2<b(n)<0
归纳法，b(1)已经完成
b(k)成立，b(k+1)=1/2b(k)(b(k)+3/2)<0 且1/2b(k)(b(k)+3/2)>-9/32,完成

证完小于0，下面证|a1-1|+...+|an-1|<2，（实际也能感觉到了吧）
下证b(n+1)>1/2b(n)
b(n+1)=1/2b(n)(b(n)+3/2)>1/2b(n)
b(n)^2+1/2b(n)>0
b(n)(b(n)+1/2)>0
这个在上面证到了（-1/2<b(n)<0），那么就搞定了。

Answer 3

...1234456667878789898987878878787877666

追问

什么东西？密码吗？