Question

求极坐标方程怎样类比于求直角坐标方程

Answer 1

极坐标变换就是令x=rcosθ，y=rsinθ，dxdy变换时候需要变成rdrdθ，积分区间根据题目具体要求对应发生变化。
比如求如图半径1的1/4圆面积，

圆方程:x^2+y^2=1,
                  则y=(1-x^2)^0.5

用dxdy坐标计算，就是I=∫∫dxdy
                           其中 x:0->1;y:0->(1-x^2)^0.5
    用{}表示积分区间     =∫{0->1}dx∫(0->(1-x^2)^0.5)dy
                                    =∫{0->1}(1-x^2)^0.5dx
令x=sinθ，则(1-x^2)^0.5=cosθ
    x=sinθ，因为 x:0->1 ，则θ:0->π/2
dx=dsinθ=cosθdθ
                                   I=∫{0->π/2}cosθdsinθ
                                    =∫{0->π/2}cosθ*cosθdθ
cosθ*cosθ=(cos2θ+1)/2
                                   I=∫{0->π/2}(cos2θ+1)/2dθ
                      前一半运算将2θ视为变量
                                   =∫0->π}cos2θ/4d(2θ)+1/2*∫{0->π/2}dθ
                                   =0+1/2*π/2
                                   =π/4

如果变换到极坐标，积分区域发生相应变化
θ:0->π/2

(坐在原点上看，x轴正方向是0度，逆时针观察所求区域，看转过多少角度，将区域观察完尽，此题转了90度，就是π/2)
r:0->1

(本题1/4圆弧的曲线函数是唯一的，所以r长度的变换就是从0到圆的半径大小长度1)

I=∫∫rdrdθ
其中θ:0->π/2，r:0->1
I=∫{0->π/2}dθ∫rdr
 =π/2*(1/2-0)
 =π/4

基本运算中涉及到x^2+y^2的时候，经常用到极坐标，可以化简计算过程，不过要看清题目，有时也会让运算更复杂，具体问题具体分析吧。

希望能帮到你。