Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135。；

点P从点B出发沿折线段BA——AD——DC以每秒5个单位的速度向点C匀速运动；
点Q从点C出发沿折线段CB方向以每秒3个单位的速度匀速运动，当点P与点c重合时停止运动，点Q也随之停止。设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）
1）、当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长。
2）、当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC

Answer 1

解：（1）t=（50+75+50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C
此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135-105=30．

（2）如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD
为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t
得50+75-5t=3t，解得t=1258．
经检验，当t=1258时，有PQ∥DC）

Answer 2

解：（1）t =（50+75+50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C，
此时，QC=35×3=105，
∴BQ的长为135-105=30；
（2）如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t 得50+75-5t=3t，解得t=，
经检验，当t=时，有PQ∥DC；
（3）①当点E在CD上运动时，如图2，
分别过点A、D 作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形 ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而 FH= AD=75，于是BF=CH=30，
∴DH=AF=40，
又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·=4t。（注：用相似三角形求解亦可）
∴S=S⊿QCE=QE·QC=6t2；
②当点E在DA上运动时，如图1，
过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC-CH=3t-30，
∴S= S梯形QCDE=（ED+QC）DH =120 t-600；
（4）△PQE能成为直角三角形，
当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35，
①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图2，
过点P作PG⊥BC于点G ，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形，
②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图1，
由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，
即5t-50+3t-30≠75，解得t≠，
③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25＜t≤35时，如图3，
由ED＞25×3-30=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角，
由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角，对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C 重合，即t=35时，如图4，∠PQE=90°，△PQE 为直角三角形，
综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35。