Question

求数学题解答！不等式的！

设f(x)=lg(|x+1|+|x－a|－2),a∈R
当a=－2时，求函数f(x)的定义域
第二问 若函数f(x)的定义域为R，求a的取值范围

Answer 1

 

由题意得|x+1|+|x-a|-2＞0即|x+1|+|x-a|＞2

 

(1)

因为a=-2

所以|x+1|+|x+2|＞2

当x+2＜0即x＜-2时，|x+1|+|x+2|=-2x-3

当x+1≤0，x+2≥0即-2≤x≤-1时，|x+1|+|x+2|=1

当x+1＞0即x＞-1时，|x+1|+|x+2|=2x+3

【这里省略了一步，就是解方程这步】

所以-2.5＞x或x＞-0.5

 

(2)

因为函数f(x)的定义域为R

所以对于任意x有|x+1|+|x-a|＞2

因为这是两绝对值相加形式

所以在|x+1|+|x-a|的最小值在[-1，a]或[a，-1]间

因为只有-1是明确了的

所以|-1+1|+|-1-a|＞2

所以|1+a|＞2

所以1+a＞2或1+a＜-2

所以a＞1或a＜-3

Answer 2

当a＝2时，f(x)＝lg(|x＋1|＋|x＋2|－2)
即求不等式|x＋1|＋|x＋2|－2＞0的解集
而|x＋1|＋|x＋2|可看成数轴上数x到－1、－2两个点的距离之和，易求得：x＞－0.5或x＜－2.5
若f(x)＝lg(|x＋1|＋|x－a|－2)的定义域为R，则|x＋1|＋|x－a|－2＞0恒成立
即|x＋1|＋|x－a|＞2恒成立
即x到－1及a的距离之和大于2恒成立，易求得：a＞1或a＜－3

Answer 3

1、当a=－2时，f(x)=lg[|x＋1|＋|x＋2|－2]
则这个函数的等于就是：
|x＋1|＋|x＋2|－2>0
|x＋1|＋|x＋2|>2
考虑到：
|x＋1|就表示x到－1的距离；|x＋2|就表示x到－2的距离，则：
这个不等式解得：x>－1/2或x<－5/2
即函数定义域是：{x|x>－1/2或x<－5/2}

2、要使得这个函数的定义域是R，则只要不等式：
|x＋1|＋|x－a|>2恒成立即可。
和上题相仿，得：a<－3或a>1

Answer 4

a=-2时f(x)=lg(|x+1|+|x+2|-2),要使f(x)有意义，则|x+1|+|x+2|-2>0,当x>-1时，不等式等价于2x+3-2>0,即x>1/2；当-2<=x<=-1时，不等于变为-1>0,舍去；当x<-2时，不等式变为-2x-5>0,即x<-5/2，所以定义域为{x|x<-5/2或x>1/2}
若函数定义域为R，则|x+1|+|x-a|-2>0恒成立，因为|x+1|+|x-a|-2>=|x+1-x+a|-2=|a+1|-2,所以|a+1|-2>=0解得a>1或a<-3

Answer 5

1)a=-2时有|x+1|+|x+2|-2>0

(1)x>-1,x+1+x+2-2>0,x>-1/2,即有x>-1/2
(2)-2<x<=-1,-x-1+x+2-2>0,不成立.
(3)x<=-2,-X-1-X-2-2>0,X<-5/2,即有X<-5/2
即定义域是(-无穷,-5/2)U(-1/2,+无穷)
(2)
函数的定义域是R,则有|x+1|+|x-a|-2>0对于一切R恒成立.
又有|x-a|+|x+1|>=|a-x+x+1|=|a+1|
即有|a+1|>2
解得a>1或a<-3