Question

已知关于 的一元二次方程 ．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等

已知关于 的一元二次方程 ．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线 与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．点O为坐标原点，点P在直线BC上，且OP= BC，求点P的坐标．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2）1；（3） 或 ．

试题分析：（1）证明一元二次方程根的判别式大于等于0即可. （2）解一元二次方程，根据方程有两个互不相等的负整数根列不等式求解即可. （3）求出BC的长，由OP= BC求得OP；应用待定系数法求出BC 的解析式，从而由点P在直线BC上，设 ，应用勾股定理即可求得点P的坐标． （1）∵ ≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）∵ ， ∴ ， ． ∵方程有两个互不相等的负整数根， ∴ ．∴ 或 .∴ ． ∵m为整数，∴m=1或2或3． 当m=1时， ，符合题意； 当m=2时， ，不符合题意； 当m=3时， ，但不是整数，不符合题意． ∴m=1． （3）m=1时，抛物线解析式为 ． 令 ，得 ；令x=0，得y=3． ∴A（-3，0），B（-1，0），C（0，3）．∴ ． ∴OP= BC ． 设直线BC的解析式为 ， ∴  ，∴ . ∴直线BC的解析式为 ． 设 ，由勾股定理有： ， 整理，得 ，解得 ． ∴ 或 ．