Question

（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用

（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

Answer 1

（1）如图（共有2种不同的分割法）．


（2）设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图1，则∠CBD=∠CDB=90°-

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2

x，∠A=180°-x-y．
而∠ADB＞90°，此时只能有∠A=∠ABD，即180°-x-y=y-（90°-

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x）
即3x+4y=540°，即∠ABC=135°-

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∠C；


②若∠C是底角，
第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．
由AB=AD，得2x=y-x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C．
由AB=BD，得180°-x-y=2x，此时3x+y=180°，即∠ABC=180°-3∠C．
由AD=BD，得180°-x-y=y-x，此时y=90°，即∠ABC=90°，∠C为小于45°的任意锐角．
第二种情况，如图3，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180°-x＞90°，此时只能有AD=BD，
从而∠A=∠ABD=

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2

∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD=BC不成立．
综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC=135°-

3

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∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角